A Cortana é um dos principais recursos introduzidos no Windows 10 e, como previsto, está vinculada ao Bing. Todos sabiam que a Cortana usaria o Bing e o Edge por padrão, mas estávamos otimistas de que ela viria com uma ferramenta de personalização que nos permitiria usar o navegador e o mecanismo de busca de nossa preferência. Agora que o Windows 10 foi lançado, percebemos o erro que cometemos. Se você definir um navegador diferente como padrão no Windows 10, a Cortana encaminhará todas as pesquisas na web para ele, mas ainda usará o Bing. Veja como fazer a Cortana usar o Google no Chrome e no Firefox.
Atualização 1: O Chrometana foi brevemente infectado por malware. O desenvolvedor publicou uma publicação no Reddit e confirmou que o problema já foi resolvido.
Atualização 2: você precisará instalar o EdgeDeflector antes de poder enviar consultas de pesquisa da Cortana para o seu navegador padrão.
Faça a Cortana usar o Google Chrome (ou Firefox)
Esta é simples e requer alguns ajustes no aplicativo Configurações. Abra o aplicativo Configurações e clique no grupo de configurações Sistema. Vá para a aba Aplicativos Padrão, role para baixo até a opção do navegador e selecione Chrome/Firefox.

Faça a Cortana usar a Pesquisa do Google no Chrome
Para que a Cortana use o Google, você precisa de um complemento ou extensão para redirecionar a pesquisa.
Para o Chrome, você precisa de uma extensão chamada Chrometana. Ela redireciona todas as buscas do Bing para o Google, sem falhas. Com o Chrome definido como seu navegador padrão e esta extensão instalada no Chrome, a Cortana enviará as buscas para ele, e todas as buscas serão feitas no Google. Para usuários do Firefox, existe um complemento chamado Bing-Google que você pode usar para o mesmo efeito, desde que primeiro certifique-se de definir o Firefox como seu navegador padrão.

A pergunta lógica a se fazer é se isso afetará a velocidade da Cortana e a resposta é Não. Durante os testes, a troca foi absolutamente perfeita e sem atrasos.
Atualização: Inicialmente, recomendamos uma extensão do Chrome chamada bing2google, mas ela foi removida da Chrome Web Store. Em seu lugar, recomendamos o uso do Chrometana. Ele funciona tão perfeitamente quanto o bing2google. Da mesma forma, atualizamos nossa recomendação para o Firefox.
Instale o Chrometana da Chrome Web Store ( a extensão foi removida porque não funciona mais ).
Instalar Bing-Google para Firefox